اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی

نسبت طلایی یا عدد فی (به انگلیسی: Golden ratio ) در ریاضیات و هنر هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد. [۱] » تعریف دیگر این عدد نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.

نسبت طلایی و استفاده از آن در طراحی وب

همونطور که قبلا هم قول داده بودم از این پس در سی جی تی وی قصد دارم مقالات و آموزشهایی در مورد طراحی وب بزارم که کمتر در وب فارسی به آن پرداخته میشه ، از همین بابت در این آموزش قصد دارم به توضیح یک نکته یا روش جالب به نام « نسبت طلایی » یا Golden Ratio بپردازم.

ابتدا تعریف کلی از زبان ویکی پدیا

نسبت طلایی یا عدد فی (به انگلیسی: Golden ratio ) در ریاضیات و هنر هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد. [۱] »

تعریف دیگر این عدد نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.

توضیحات بیشتر رو میتونید در صفحه ویکی پدیا مطالعه کنید. در واقع این نسبت در اکثر گونه های طراحی به کار میره و اصالتا یک نسبت ریاضی هست که در طبیعت به وفور یافت میشه و در طراحی های کلاسیک و قدیمی نیز برای ایجاد هماهنگی در طرح از آن استفاده میشده.

تقریبا مقدار 1.6180 با نام « نسبت طلایی شناخته میشود.

حال که با نسبت طلایی آشنا شدیم ، بد نیست کمی هم در مورد « مربع طلایی » بدانیم:

مربع طلایی ، مربعی است که طول آن 1.6180 برابر عرض آن است. برای مثال یک div رو در نظر بگیرید که عرض آن ۳۰۰ پیکسل است ، با این حساب طول آن میشود:

1.6180×300=485px

یه مربعی تو مایه های عکس زیر:

حالا اگه شما یک مربع واقعی (۳۰۰ در ۳۰۰ پیکسل) رو از مربع طلایی گفته شده جدا کنید. قسمت باقیمانده یک مربع طلایی دیگر خواهد بود. مانند شکل زیر:

به همین ترتیب میتوانید این عملیات را برای مربع های داخلی تر بارها و بارها انجام بدهید:

و نتیجتا تعدادی مربع معمولی و یک مربع طلایی خواهید داشت.

سری فیبوناچی

باز هم قبل از هرچیز یک تعریف کلی از ویکی پدیای عزیز:

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:

۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است.

در واقع سری فیبولاناچی بسیار مشابه نسبت طلایی است اما نه دقیقا! سری فیبولانچی یک سری از اعداد هست که در آن هر عدد مجموع جمع دو عدد قبل از خود است. مشابه (مثال ذکر شده در بالا)

حال اگر بخواهیم این روش را در طراحی پیاده کنیم و از مربع استفاده کنیم ابتدا دو مربع خواهیم داشت:

حال اگر بخواهیم یک مربع دیگر به آن اضافه کنیم طبق قانون فیبوناچی باید از مجموع آن دو مربع باشد:

و اگر این سری را بارها و بارها ادامه دهیم به طرح زیر خواهیم رسید:

که در واقع این رابطه ریاضی تقریبا یک مربع طلایی نامحدود را به ما خواهد داد که میتواند تا حد دلخواه بسط داده شود و بزرگ شود.

حال اجازه بدید تعدادی از وب سایت ها را آنالیز کنیم تا ببینیم این مربع جادویی چگونه در طراحی وب مورد استفاده قرار میگیرد:

عدد طلائی و فیبونانچی اصلاحی

ساعد نیوز:لئوناردو فیبوناچیLeonardo Fibonacciدر سال ۱۱۷۵م متولد شد و نخستین ریاضیدان بزرگ اروپا در قرن سیزدهم میلادی است. وی به‌دلیل مطرح کردن موضوع «ترتیب اعداد» مورد توجه قرار گرفت. یکی از کارهای او معرفی سری معروف فیبوناچی است که پس از مراجعت از سفرش به مصر در کتابی به نام کتاب حساب آن را معرفی کرد

لئوناردو فیبوناچیLeonardo Fibonacciدر سال ۱۱۷۵م متولد شد و نخستین ریاضیدان بزرگ اروپا در قرن سیزدهم میلادی است. وی به دلیل مطرح کردن موضوع «ترتیب اعداد» مورد توجه قرار گرفت. یکی از کارهای او معرفی سری معروف فیبوناچی است که پس از مراجعت از سفرش به مصر در کتابی به نام کتاب حساب آن را معرفی کرد. نسبت های معروف فیبوناچی در طبیعت و در اعضای بدن انسان و. نمایانگر اعتبار سری اعداد فیبوناچی و نسبت های آن است. ترتیب اعدادی که فیبوناچی سال ها قبل بر آن ها تأکید کرد، در بازار های مالی و بورس کاربرد فراوانی برای تحلیلگران دارد.

عدد فی یا عدد طلایی

"عدد فی یا عدد طلایی"از دنباله فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هر جمله با مجموع دو جمله پیشین خود برابری می کند، بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله به جمله ماقبلش عدد طلایی ۱.۶۱۸ است که به «نسبت طلایی» یا «عدد فی» مشهور است. لازم است بدانید اولین اعداد این سری عبارت اند از:

ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی

هرچه جفت اعداد فیبوناچی بزرگ تر باشند، نسبت بین آن ها تقریب بهتری از نسبت طلایی را نشان می دهد. در ادامه برخی از این نسبت ها را مشاهده می کنید: روش های متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و سری فیبوناچی وجود دارد که در اینجا به یکی از این روش ها اشاره می کنیم.به عنوان مثال، با اعداد ۲۳۳, ۱۴۴, ۸۹, ۵۵ نسبت های زیر قابل دستیابی است:

۱.۶۱۸ = ۸۹ ÷ ۱۴۴ ۱.۶۱۸ = ۱۴۴ ÷ ۲۳۳

۰.۶۱۸ = ۱۴۴ ÷ ۸۹ ۰.۶۱۸ = ۲۳۳ ÷ ۱۴۴

۰.۳۸۲ = ۲۳۳ ÷ ۸۹ ۰.۳۸۲ = ۱۴۴ ÷ ۵۹

با جذر ۰.۶۱۸ عدد ۰.۷۸۶ به دست می آید. همچنین جذر ۱.۶۱۸، ۱.۲۷ می شود. بدین ترتیب نسبت های زیر را می توان به دست آورد:

۰.۷۸۶ = ۷۹% ۰.۲۴۷ = ۲۵%

قبول اهمیت نقاط فیبوناچی توسط معامله گران درنهایت به جایی ختم می شود که هرگاه نمودار به سمت این نقاط حرکت می کند، معامله گران بتوانند رفتار آن را پیش گویی کنندبا این تفاسیر می توان گفت که انواع ابزارهای فیبوناچی در بازارهای مالی، روشی برای تحلیل بازگشت یا ادامه روند هستند. از منظری انواع ابزارهای فیبوناچی نقاط حمایت و مقاومت هستند که با ابزارها و روش های گوناگون رسم می شوند.

این سطوح بازگشت برخلاف حمایت و مقاومت های قبلی که تنها قیمتی خاص را نقطه حساس تلقی می کردند می توانند قیمتی خاص، خطی مورب یا زمان خاصی را نقطه حساس حمایت یا مقاومت تعریف کنند. در استفاده از ابزارهای فیبوناچی درصدها اهمیتی فوق العاده دارند. عموم این درصدها از نسبت درصدهای بین اعداد فیبوناچی به دست می آیند. به غیراز چند عدد ابتدای سری اعداد فیبوناچی، هرکدام از اعداد دنباله، تقریبا ۱٫۶۱۸ برابر عدد قبل از خود هستند(نسبت طلایی) و هر عدد ۰٫۶۱۸ برابر عدد بعد از خود است.این نسبت ها به درصد به ترتیب ۱۶۱٫۸ درصد و ۶۱٫۸ درصد می شوند. تقسیم عدد اول به عدد دوم سری اعداد فیبوناچی یک به یک یا به عبارتی ۱۰۰ درصد را نشان می دهد.تقسیم عدد دوم به عدد سوم سری اعداد فیبوناچی ۰٫۵ یا به عبارتی ۵۰ درصد را نشان می دهد.

فیبوناچی دارای ابزارهای بسیار زیادی می باشد ولی سه مورد آن از اهمیت ویژه ای برخوردار است:

ابزار فیبوناچی اصلاحی (Retracement)

ابزار فیبوناچی اکستنشن یا گسترشی (Extension)

ابزار فیبوناچی پروجکشن یا بازتاب دهنده Projection

فیبوناچی اصلاحی چیست؟

فیبوناچی اصلاحی ابزاری است که توسط تحلیلگران تکنیکال و تریدر ها برای پیدا کردن نواحی مقاومت و حمایت در یک نمودار مورد استفاده قرار می گیرد. از نسبت های فیبوناچی به صورت درصدی استفاده می شود؛ ابزار فیبوناچی اصلاحی برگرفته از یک رشته از اعداد است که توسط ریاضیدانی به نام فیبوناچی در قرن سیزدم میلادی کشف شده است. ارتباطات ریاضی خاصی که بین اعداد در این توالی وجود دارد، نسبت هایی را ایجاد می کند که می توان بر روی نمودار مورد استفاده قرار داد. این نسبت ها به صورت زیر هستند:

اگرچه ۵۰ ٪ از جمله نسبت های فیبوناچی نیست، اما بسیاری از تریدر ها آن را به عنوان یک نقطه میانی لحاظ می کنند. از فیبوناچی اصلاحی که در خارج از محدوده ۰ تا ۱۰۰ مورد استفاده قرار می گیرند، می توان به ۱۶۱.۸ درصد، ۲۶۱.۸ درصد و ۴۲۳.۶ درصد اشاره کرد. این نسبت ها بر روی نمودار ممکن است با سطوح برجسته ای در بازار همبستگی داشته باشند. معمولا تحلیلگران از فیبوناچی اصلاحی برای پیدا کردن نقاط حساسی مانند نقاط ورود و خروج و یا مقاومت و حمایت استفاده می کنند.

نکات مهم درباره اندیکاتور فیبوناچی اصلاحی

• این اندیکاتور، هر دو نقطه ای که مورد نظر معامله گر باشد و معمولا بیش ترین و کم ترین قیمت است را به یکدیگر متصل می کند.
• پس از ترسیم فیبوناچی اصلاحی در نمودار، سطوح ثابت می شوند و تغییر نخواهند کرد. درصدهای ارائه شده، مناطقی هستند که ممکن است قیمت ثابت بماند یا اصلاح شود.
• صرفا نباید به این سطوح متکی بود. برای مثال، این خطرناک است که فرض کنیم قیمت پس از رسیدن به سطح فیبوناچی مشخص، اصلاح خواهد شد. ممکن است اینطور باشد، اما لزوما بدین صورت نیست.
• بیش ترین استفاده از سطوح فیبوناچی اصلاحی برای ارائه مناطق علاقه بالقوه است. اگر معامله گری در صدد خرید باشد، قبل از آن به ثابت ماندن قیمت در سطح فیبوناچی اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی و سپس اصلاح آن دقت می کند.بیش ترین درصدهای مورد استفاده شامل ۲۳.۶، ۳۸.۲، ۵۰، ۶۱.۸ و ۷۸.۶ درصد هستند؛ این اعداد نشان می دهند که قیمت قبلی تا چه مقدار اصلاح شده است.

فرمول های سطوح فیبوناچی اصلاحی

خود فیبوناچی اصلاحی دارای فرمول خاصی نیست. هنگامی که این فیبوناچی بر روی نمودار اعمال می شود، کاربر دو نقطه را انتخاب می کند و سپس خطوطی با درصدهای تغییر قیمت رسم می شوند.اگر قیمت از ۱۰ به ۱۵ دلار برسد و این دو سطح قیمت، نقاط مورد نظر برای ترسیم فیبوناچی اصلاحی باشند، در نتیجه سطح ۲۳.۶ درصد برابر با ۱۳.۸۲ دلار خواهد بود. سطح ۵۰ درصد نیز برابر با ۱۲.۵۰ دلار خواهد بود.

($15 – ($5 x 0.236))=$13.82 ($15 – ($5 x 0.5)) = $12.50

سطوح فیبوناچی اصلاحی چه نکته ای را بیان می کنند؟

از سطوح فیبوناچی اصلاحی می توان برای سفارش های ورود، تعیین سطوح حد ضرر یا تعیین هدف های قیمتی استفاده کرد. برای مثال، یک تریدر ممکن است متوجه شود که بورس در روند صعودی قرار دارد. پس از افزایش قیمت با سطح ۶۱.۸ درصد اصلاح می شود و سپس دوباره شروع به افزایش می کند. از آنجایی که این جهش در سطح فیبوناچی رخ داده است، معامله گر تصمیم می گیرد که خرید انجام دهد. در نتیجه می تواند حد ضرر خود را در سطح ۷۸.۶ یا ۱۰۰ درصد قرار دهد.

علم گذر

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید . اگر این معادله ساده یعنی a 2 =a*b+b 2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا" 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید .

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد که به تدریج راجع به آن صحبت خواهیم کرد .

برش اهرام و نسبت طلایی

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد . این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi 2 =phi+b 2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند (

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد .

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد ".

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد که در آینده راجع به آنها صحبت خواهیم کرد .

لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند . اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد آ نها F_n را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند . پس F₁ =1 و F₂ =2 خواهد بود . چون در شروع ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد. اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میکند .

سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند : F_n-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید میشود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میکند .. تعداد اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است که با F_n-1 نشان داده میشود.

با استفاده از این فورمول و مقادیر اولیه F₁ =1 و F₂ =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یک سال بدست اورد و نوشت F₁₂=233 .
سری اعداد F_n را دنباله فیبوناچی مینامند. با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1 و 2 شروع میشود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند )

حالا اگر در این دنباله هر عدد را به عدد قبلیش تقسیم کنیم یک همچین سری را خواهیم داشت :

که هرچه جلو بریم بنظر می اید که به یک عدد مخصوص میرسیم.

ما این عدد را عدد طلایی مینامیم که این عدد تقریبا برابر است با : . 1.618033

به عبارتی دیگر حد این دنباله به عدد طلایی میرسد.

سری فیبوناچی در طبیعت :

حالا میام و به اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی این دنباله به صورت دیگری نگاه میکنیم : اگر ما دو مربع به ضلع یک در کنار هم بگزاریم و در بالا آندو یک مربع با ضلع 2 بگزاریم و همین طوری تا اخر .

این مستطیل به مستطیل فیبوناچی معروف است.

از دیگر مثالهای این دنباله در طبیعت میتوان به دانه های گل افتابگردن یا به تعداد گلبرگ بعضی گلها اشاره کرد .

قبلا در مورد چگونگی بدست اوردن عدد طلایی از طریق دنباله فیبوناچی صحبت شد.حالا در مورد راههای دیگر بدست اوردن این عدد صحبت میکنیم .

در زمانهای قدیم هنرمندان یونانی به خوبی ریاضی دانان مستطیل زیبایی می شناختند که از نظر هنری عرض 1 و طول X داشت در این مستطیل هر وقت مربعی به ضلع 1 را از ان جدا کنند باز همان مستطیل با همان نسبتهای مستطیل اصلی باقی میماند .

در دنیای ریاضی این عدد را با نشانه یونانی (خوانده میشود فی ) نمایش میدهند

استفاده های این عدد :

هرم " ریم پاپیروس " در اهرام ثلاثه یکی از قدیمی ترین مثالها از استفاده از این عدد در ساخت بناهاست .
اگر عرض یکی از شالهای این هرم را بر فاصله نوک هرم تا نقطه وسط اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی کف هرم تقسیم کنیم جواب 1.6 خواهد بود .

باستان شناسان مطمئن نیستند که آیا این کار از قصد انجام شده یا اتفاقی بوده است !
مطلب جالب دیگر این است که اگر قطر این هرم را به دوبرابر ارتفاع آن تقسیم کنیم جواب عدد پی (3.14) خواهد بود .

مثال دیگر در بنای پارتنون در یونان وجود دارد .برای ساخت این بنا که در 440 BC ساخته شده است از مستطیل طلایی استفاده شده است .

چگونگی کشیدن یک مستطیل طلایی :

برای کشیدن یک مستطیل طلایی ابتدا بک مربع با ضلع دلخواه کشیده سپس وسط ضلع پایین این مربع را پیدا کنید.بعد از این با یک پرگار یک قوس با شعاعی به اندازه وسط مربع تا گوشه سمت راست بکشید تا طول مستطیل معلوم شود .

از استفاده های دیگر این عدد :

- هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم کنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد آن فرد باهوشتر است.البته این ثابت نشده است .

- طول هرسه بند انگشت یکی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید . اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند کوچک انجام دهید. جواب ؟

با سلام
سعی شده است در این وبلاگ مطالب جدید علمی گذاشته شود . امید است از این مطالب لذت ببرید .
« با تشکر گروه KF »

موسیقی دلنشین برگرفته از قانون فیبوناچی

لئوناردو فیبوناچی(Leonardo Fibonacci) در سال ۱۱۷۵م متولد شد و نخستین ریاضیدان بزرگ اروپا در قرن سیزدهم میلادی است. وی به‌دلیل مطرح کردن موضوع «ترتیب اعداد» مورد توجه قرار گرفت. یکی از کارهای او معرفی سری معروف فیبوناچی است که پس از مراجعت از سفرش به مصر در کتابی به نام کتاب حساب آن را معرفی کرد. نسبت‌های معروف فیبوناچی در طبیعت و در اعضای بدن انسان و… نمایانگر اعتبار سری اعداد فیبوناچی و نسبت‌های آن است. ترتیب اعدادی که فیبوناچی سال‌ها قبل بر آن‌ها تأکید کرد، در بازار‌های مالی و بورس کاربرد فراوانی برای تحلیلگران دارد.

عجایب اعداد فیبوناچی

«عدد فی یا عدد طلایی» از دنباله فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هر جمله با مجموع دو جمله پیشین خود اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی برابری می‌کند، بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله به جمله ماقبلش عدد طلایی ۱.۶۱۸ است که به «نسبت طلایی» یا «عدد فی» مشهور است.

لازم است بدانید اولین اعداد این سری عبارت‌اند از:
۱،۱،۲،۳،۵،۸،۱۳،۲۱،۳۴،۵۵،۸۹،۱۴۴،۲۳۳

چرا این دنباله‌ اعداد مشهور شده است؟

سری فیبوناچی رشته‌ای از اعداد است که در آن اعداد غیر از دو عدد اول با محاسبه‌ مجموع دو عدد قبلی ایجاد می‌شوند

با وجود گستردگی طبیعت و وجود انواع موجودات پیرامون انسان‌ها، نظم خاصی بر همه‌چیز حاکم است که با پیشرفت علوم بشری، این نظم بیش‌ازپیش مشخص‌تر می‌شود. شاید در زمان یادگیری مفاهیم علمی، بسیاری از موارد بی‌معنی به نظر برسد، اما نظم خاصی در پشت همه‌چیز نهفته است.

ریاضیات یکی از علوم پایه است که کشف اسرار آن، کلید حل معمای موجود در طبیعت است.

همان‌طور که اشاره شد این اعداد در هستی کشف شده‌اند. در قسمت لاک حلزون از زاویه «فی» استفاده شده است. شاخ و برگ درخت‌ها به‌صورت تصادفی در جهات مختلف رشد نمی‌کنند. اندازه‌گیری زاویه شاخه‌ها نشان می‌دهد که در الگوی رشد آن‌ها، نظمی شبیه دنباله فیبوناچی و نسبت طلایی وجود دارد. درختان با پیروی از این نوع الگوی رشد، قادر هستند درصد بیشتری از نور خورشید را جذب کنند.

همگام با ریاضی

در قرن 12، لئوناردو فیبوناچی ( Leonardo Fibonacci ) دنباله ی مشهور خود را معرفی نمود. جمله ی بعدی برابر مجموع دو جمله ی قبلی خود می باشد.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

عدد فی از دنباله ی فیبوناچی مشتق شده است، تصاعد مشهوری که شهرتش تنها به این دلیل نیست که هرجمله با مجموع دو جمله ی پیشین خود برابری می کند. بلکه به این دلیل است که خارج قسمت هر دو جمله ی کنار هم خاصیت حیرت انگیز، نزدیکی به عدد 1.618 را دارد.

در زیر مقداری از این عدد نا متناهی را می بینید:

1.61803398874989484 8204586834365638 1177203091798057 6286213544862270 526046281890
2449707207204189391 1374847540880753 8689175212663386 2223536931793180 06076672635
4433389086595939582 9056383226613199 2829026788067520 8766892501711696 20703222104
3216269548626296313 6144381497587012 2034080588795445 4749246185695364 86444924104
4320771344947049565 8467885098743394 4221254487706647 8091588460749988 71240076521
7057517978834166256 2494075890697040 0028121042762177 1117778053153171 41011704666
5991466979873176135 6006708748071013 1795236894275219 4843530567830022 87856997829
7783478458782289110 9762500302696156 1700250464338243 7764861028383126 83303724292
6752631165339247316 7111211588186385 1331620384005222 1657912866752946 54906811317
1599343235973494985 0904094762132229 8101726107059611 6456299098162905 55208524790
3524060201727997471 7534277759277862 5619432082750513 1218156285512224 80939471234
1451702237358057727 8616008688382952 3045926478780178 89921 9902707769038953219 68 1
9861514378031499741 1069260886742962 2675756052317277 7520353613936210 76738937645
5606060592165894667 5955190040055590 8950229530942312 4823552122124154 44006470340
5657347976639723949 4994658457887303 9623090375033993 اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی 8562102423690251 38680414577
9956981224457471780 3417312645322041 6397232134044449 4873023154176768 93752103068
7378803441700939544 0962795589867872 3209512426893557 3097045095956844 01755519881
9218020640529055189 3494759260073485 2282101088194644 5442223188913192 94689622002
3014437702699230078 0308526118075451 9288770502109684 2493627135925187 60777884665
8361502389134933331 2231053392321362 4319263728910670 5033992822652635 56209029798
6424727597725655086 1548754357482647 1814145127000602 3890162077732244 99435308899
9095016803281121943 2048196438767586 3314798571911397 8153978074761507 72211750826
9458639320456520989 6985556781410696 8372884058746103 3781054443909436 83583581381

حیوانات، گیاهان و حتی انسان ها همگی با دقتی بسیار بالا وجوهی از ضرایب فی به یک می باشند. دانشمندان قدیم 1.618 را نسبت الهی عنوان کرده اند. برای آشنایی بیشتر با این نسبت به چند نمونه ی زیر توجه کنید:

در یک کندوی عسل همیشه تعداد زنبورهای ماده از نرها بیشتر است. حال اگر تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم کنیم در هر کندویی در هر گوشه ی دنیا یک عدد ثابت بدست می آید. که همان فی است.

نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد

تخمه های آفتابگردان به شکل مارپیچ هایی روبروی هم رشد می کنند. نسبت قطر هر دایره به دایره بعدی 1.618 می باشد .

به نسبت های طولی و عرضی خطوط رنگی دقت کنید. نسبت خطوط به هم 1.618 می باشد .

نسبت طولی و عرضی خال های پروانه ها، نسبت فی است

داوینچی اولین کسی بود که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد فی هستند.

فاصله سر تا زمین را تقسیم بر فاصله ی شکم تا زمین نمایید. عدد حاصله 1.618 می باشد.

فاصله شانه ها تا نوک انگشت تقسیم بر فاصله آرنج تا نوک انگشت هم بیانگر عدد فی می باشد.

باسن تا زمین تقسیم بر زانو تا زمین

مفاصل انگشتان. تقسیمات ستون فقرات و .

همان طور که می دانید DNA زنجیره ی حیاتی هر موجودی است که در آن کلیه اطلاعات آن موجود بصورت کد و زنجیروار قرار دارد. 34آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا دارد.

و 34 و 21 جزو اعداد سری فیبوناچی هستند و تقسیم آنها بر یکدیگر عدد 1.61904 را نشان می دهد که کاملا اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی نزدیک 1.6180339 می باشد.

ذره ای کوچک از نظم بزرگ هستی ما.

نسبت طلایی نسبت زیبایی

ایجاد نسبت طلایی عبارت است از تقسیم پاره خط به دو قسمت به طوری که نسبت طول قطعه بزرگ تر به طول تمام پاره خط، مساوی با طول قطعه کوچک اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی تر به قطعه بزرگ تر باشد. این نسبت در قدیم به تقسیم خط به نسبت ذات وسطین و طرفین (یا تقسیم توافقی) معروف بوده است که معادل آن به صورت اعشاری در حدود 1.618 خواهد بود که این عدد همان عدد فی می باشد و اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی یکی از خواص آن این است که اگر یک واحد از آن کسر کنیم مقدار آن برابر عکس خودش می شود.

نتایج تحقیقات فراوان علمی و روان شناسی اعلام می کند که زیباترین سطوح و اشکال از نظر انسان ها، آنهایی هستند که در ابعاد آنها نسبت طلایی به کار رفته باشد.

نویسندگان رنسانس این تناسب را نسبت آسمانی و پیروان اقلیدس آن را ذات وسطین و طرفین می خواندند و از قرن 19 بعد بعد این تناسب در بین هنرمندان به نام تقسیم طلایی معروف گشت. در دوره رنسانس مطالعه در مورد این نسبت در بین ریاضی دان ها معمول بوده است. به طوری که کاکستر در اول مقاله خود به نقل از کپلر می نویسد: هندسه صاحب دو گنجینه بزرگ است، یکی قضیه فیثاغورث و دیگری تقسیم خط به نسبت ذات وسطین و طرفین که اولی اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی را می توان با طلا مقا یسه کرد و از دومی به عنوان یک گوهر گران بها اسم برد.

نحوه ترسیم هندسی مستطیل طلایی به کمک مربع

این نسبت از قدیم در بین هنرمندان و معماران شناخته شده و در آثار خود از آن استفاده می کرده اند؛ نظیر ساختمان معبد پارتنون که در آن این نسبت به کار رفته است.

در اهرام مصر نیز این نسبت به دقت رعیات شده است. مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم!

مدارک به دست آمده از دو هزارسال قبل از میلاد در یکی از اهرام مصر نیز که در یکی از اطاق ها تصویری به دست آمده، حاکی از مطالعه این نسبت روی اجزای بدن انسان است که مطالعه آن توسط لوکوربوزیه معمار فرانسوی روی بدن انسان، جدول معروفی را به دست می دهد که با استفاده از قابلیت تقسیم طبیعی در بدن انسان، علم نسبت ها را در ساختمان وارد کرده است. بررسی های لوکوربوزیه بعد از وی توسط دیگر دانشمندان مورد مطالعه و پیگیری است.

لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا.
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج.
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر.اعداد فیبوناچی و نسبت طلایی
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر.
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا.

انتخاب ده ضلعی منتظم از طرف هنرمندان ایرانی و استفاده آن در کارهای معماری (پوشش گنبدها با کاربندی ده) و کارهای هنری (گره سازی ها که پایه آنها روی ده ضلعی منتظم قرار دارد) توجه و دقت آنها و بالاخره دید آنها را در انتخاب و به دست آوردن بهترین تناسبات در خطوط و سطوح را می رساند. چرا که در ده ضلعی منتظم نسبت شعاع به طول ضلع، همان نسبت طلائی است که در تمام کاربندی پوشش های گنبدی در معماری اصیل ایرانی - اسلامی از آن استفاده شده است.

همچنین مثلث متساوی الساقینی که ابوالوفاء بوزجانی در کشیدن پنج ضلعی از آن استفاده کرده و آن را مثلث پنج ضلعی نامیده است، مثلثی است که بین ساق و قاعده آن این نسبت طلایی وجود دارد.

در مطالعه در طبیعت نیز این تناسب زیاد دیده می شود نظیر فاصله برگ های روی ساقه و ساقه روی شاخه و شاخه روی تنه در بعضی گیاهان که بین هر دو زوج، سومی تقریبا در جای طلایی قرار گرفته است.

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده و درعین حال زیبا از نسبت طلائی است.

نسبت طلایی در فواصل خال های پروانه

نسبت طلائی در فواصل افقی قطعات ویولون

رعایت نسبت طلایی در طول و عرض iPod نسبت به محصولات مشابه